Exercícios sobre equação geral da circunferência

Determinar a equação geral (ou normal) da circunferência de centro C (-1 , -3) e raio r = 4 .

resposta: Resolução:

$\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,r^2\;\Rightarrow [x\,-\,(-1)]^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,4^2\;\Rightarrow \;$

$\,\Rightarrow (x\,+\,1)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,16\,$.

Desenvolvendo os quadrados das somas:

$\,x^2\,+\,2x\,+\,1\,+\,y^2\,+\,6y\,+\,9\,=\,16\;\Rightarrow$

$\,\Rightarrow \boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,2x\,+\,6y\,-\,6\,=\,0\;}\,$

Resposta: $\;\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,2x\,+\,6y\,-\,6\,=\,0\;}\,$

Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .

resposta:

Resolução:

O segmento $\,\overline{AB}\,$ é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de $\,\overline{AB}\,$:

$\left\{\begin{array}{rcr} A(5\, ,\,-1) \phantom{X}& \\ B(-3\,,\,7) \phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;$ $\Rightarrow \;C\,\left( \frac{5 - 3}{2}\,;\,\frac{-1+7}{2} \right)\;\Rightarrow\;C\,(1\,;\,3)$

O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC.

$\,r\,=\,|AC|\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(5\,-\,1)^2\,+\,(-1\,-\,3)^2}}\,=\,\sqrt{32}\,$

A equação da circunferência de raio $\,\sqrt{32}\,$ e centro $\,C\,(1 ; 3)\,$ é:

$\,(x\,-\,1)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,32\;\Rightarrow$ $\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\;}\,$

Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .

resposta:

Resolução:

O raio da circunferência é a distância do centro até a origem:

$R\,=\,d_{CO}\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(x_C\,-\,x_O)^2\,+\,(y_C\,-\,y_O)^2}}$

$R\,=\,{\large\,\sqrt{(4\,-\,0)^2\,+\,(-3\,-\,0)^2}}\;\Rightarrow\;$

$R\,=\,\sqrt{16\,+\,9}\;\Rightarrow\;R\,=\,5$

A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\,$

Sabemos que o centro é $\;C\,(4\,,\,-3)\;$ e raio $\,R\,=\,5\,$. Temos então:

$(x\,-\,4)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$ $\;(x\,-\,4)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow$

$\;\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,8x\,+\,6y\,=\,0\;}$

Determinar as coordenadas do centro e o raio de cada uma das circunferências abaixo:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

resposta: a)

Resolução:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

A equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio R:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$, e temos que

$(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\;\Rightarrow$ $\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;}$ e

$R^2\,=\,64\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,8\;}$

$\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;\text{ e }\;R\,=\,8\;}$
b)

Resolução:

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

A equação geral da circunferência de centro (a,b) e raio R:

$x^2\,+\,y^2\,+\,mx\,+\,ny\,+\,p\,=\,0\,$. Então

$\left.\begin{array}{rcr}\,a\,=\,-{\large \frac{m}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,-{\large \frac{(-12)}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,6 \;& \\ \,b\,=\,-{\large \frac{n}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-{\large \frac{(+16)}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-8 & \\ \end{array} \right\}$ $\;\Rightarrow \; \boxed{\;C\,(6\,,\,-8) \;}$

$p\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,R^2\;\Rightarrow $ $\;-1\,=\,6^2\,+\,(-8)^2\,-\,R^2\;\Rightarrow$ $\;R^2\,=\,101\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$

$\;\boxed{\;C\,(6\,,\,-8)\;\text{ e }\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$
×

Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .

resposta:

Resolução:

Sendo o centro da circunferência
o ponto C (x , 3) conforme a figura:

circunferência tangente ao ponto zero três no plano cartesiano

Sendo $\;\overline{CA}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ raios da mesma circunferência,
são segmentos de medidas iguais:

$ \overline{CA}\,=\overline{CB}\,$
$\;\sqrt{ (x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,6)^{\large 2}} \,= $ $\,\sqrt{ (x\,-\,0)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,3)^{\large 2} } $

Elevando ao quadrado, simplificando, temos:

$(x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,9\,=\,x^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $x\,=\,-5\,$

Então o centro é $\,C\,(-5\,,\,3)\,$ e o raio é $\,\overline{BC}\,=\,5$

e a equação da circunferência:

$\,(x\,+\,5)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow\;$ $\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\;}\,$
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